Число 120 — факториал 5!, но также единственное число, равное произведению первых трёх факториалов: 1! × 2! × 3! = 120.

Число 120 обладает уникальным свойством в теории факториалов: оно одновременно является факториалом пяти (5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120) и единственным числом больше единицы, которое равно произведению первых трёх факториалов (1! × 2! × 3! = 1 × 2 × 6 = 120). Это редкое совпадение привлекает внимание математиков уже несколько столетий, хотя точная дата первого описания теряется в истории развития факториального анализа. Важность этого свойства проявляется не столько в самом факте, сколько в том, что оно служит примером глубокой структуры натуральных чисел и их скрытых отношений. Число 120 играет значительную роль в комбинаторике и теории вероятностей. Оно представляет количество перестановок пяти различных элементов — то есть число способов, которыми можно переставить пять предметов. Эта величина встречается в решении множества практических задач: от расписания и планирования до анализа возможных исходов в теории игр и криптографии. В геометрии число 120 имеет ещё одно замечательное воплощение: это количество граней гиперкуба (тессеракта) в четырёхмерном пространстве, что демонстрирует связь факториалов с многомерной геометрией. Поиск чисел, обладающих подобными двойными свойствами, развился в отдельное направление числовой теории. Компьютерные проверки показали, что после 120 не существует других чисел, представимых как произведение нескольких последовательных факториалов.