Число e можно выразить как 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... в виде бесконечного ряда.

Число e ≈ 2,71828 можно выразить как сумму бесконечного ряда: 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ..., где n! обозначает факториал числа n. Это одно из самых естественных и удобных определений числа e в математике. Швейцарский математик Леонард Эйлер систематически изучал это представление в XVIII веке, хотя предшественники замечали связь между факториалами и числом e и раньше. Ряд сходится исключительно быстро: уже первые пять членов дают приближение 2,71666, а десять членов обеспечивают точность до пятнадцати знаков после запятой. Это делает формулу практически удобной для численных расчётов на компьютерах и калькуляторах. Основное значение этого представления заключается в том, что оно раскрывает глубокую связь между дискретной математикой (факториалы, комбинаторика) и анализом (непрерывные функции, экспоненциальные процессы). Число e появляется повсюду: в формуле сложных процентов в финансах, при описании радиоактивного распада в ядерной физике, в теории вероятности и статистике. Благодаря такому ряду математики получили инструмент для точного вычисления e без геометрических приближений. Интересно, что подобные бесконечные ряды существуют и для других важных констант: синус и косинус выражаются через ряды Тейлора, содержащие факториалы в знаменателе. Структура факториального ряда для e столь совершенна, что число e иногда называют «самым естественным» основанием логарифма и экспоненты в анализе.