Факториал 6 = 720, и это единственный факториал, являющийся кубом: 6! = 9³ + 9³ + (-1)³.

Поиск факториалов, которые одновременно являются суммами кубов целых чисел, — это классическая задача из теории диофантовых уравнений, изучавшаяся математиками с XVIII века. Наиболее известный пример: 6! = 720 = 9³ + 9³ + (−1)³. Это единственный нетривиальный факториал с таким свойством. Помимо него, только 1! = 1 тривиально удовлетворяет условию (как 1³). Проверка факториалов от 2 до 6 показывает, что 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 и 5! = 120 нельзя представить суммами кубов целых чисел, а 7! = 5040 и выше также не подходят. Вопрос о существовании других решений остаётся открытой проблемой, хотя широко распространена гипотеза об их отсутствии. Полное доказательство этой гипотезы требует привлечения глубоких результатов из теории эллиптических кривых — раздела алгебраической геометрии, который развивался благодаря работам Анри Пуанкаре и Луиса Морделла в начале XX века. Эти методы позволяют свести диофантову задачу к анализу рациональных точек на специальных кривых высокого рода, что даёт принципиальный инструмент для доказательства конечности решений. Значимость этой задачи выходит далеко за рамки развлекательной математики. Диофантовы уравнения лежат в основе криптографии, теории чисел и алгоритмических проблем информатики. Поиск целочисленных решений уравнений вида x³ + y³ + z³ = n напрямую связан с современными вычислительными проблемами: например, для малых n часто неизвестны явные представления.