Константа Апери ζ(3) ≈ 1.202... обобщает ζ(2) = π²/6, но доказательство иррациональности найдено только в 1978 году Роже Апери.

Функция дзета Римана ζ(n) — один из главных объектов аналитической теории чисел. Для чётных натуральных значений n она всегда выражается через степени числа π: например, ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90. Эта закономерность известна со времён Эйлера (XVIII век). Однако для нечётных n > 1 картина радикально меняется: формулы через π не работают, и природа этих значений остаётся глубокой загадкой. Величину ζ(3) ≈ 1,2020569... называют константой Апери в честь французского математика Роже Апери, который в 1978 году доказал её иррациональность. Это открытие было сенсацией: до того математики не знали даже, рационально ли это число. Апери использовал метод, основанный на быстро сходящихся рядах и диофантовых приближениях — подход, который ранее казался слишком сложным и даже маловероятным для решения такой задачи. Его результат был первым и единственным строгим доказательством иррациональности ζ(n) при нечётном n > 1. Значение ζ(3) возникает в различных областях: в теории чисел, комбинаторике, математической физике и квантовой электродинамике. Понимание этого числа критично для проверки гипотез о трансцендентности и алгебраической независимости значений дзета-функции. До сих пор остаётся открытым вопрос, является ли ζ(3) трансцендентным (как ζ(2) = π²/6) или лишь алгебраическим иррациональным числом. Аналогичная неопределённость сохраняется для всех нечётных значений ζ(5), ζ(7), ζ(9) и далее — это один из самых известных нерешённых вопросов современной математики.