Константа Апери (ζ(3)) ≈ 1,202 остаётся загадкой: неизвестно, рациональна ли она.

Константа Апери, обозначаемая ζ(3), — это значение дзета-функции Римана в точке 3, равное сумме бесконечного ряда 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + ... ≈ 1,202056903159594... Число названо в честь французского математика Роже Апери, который в 1977 году совершил прорыв, доказав, что ζ(3) — иррациональное число, то есть не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Это была первая решённая задача такого рода для нечётных значений дзета-функции, тогда как для чётных значений рациональность или иррациональность была известна давно. Примечательно, что несмотря на доказанную иррациональность, остаётся неизвестным, является ли ζ(3) алгебраическим числом или трансцендентным — то есть не корнем никакого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Эта загадка тесно связана с одной из самых глубоких проблем современной теории чисел: неизвестно даже, линейно ли независимы константы Апери и π над полем рациональных чисел. Предполагается, что ζ(3) трансцендентна, но это остаётся недоказанным. Значение ζ(3) встречается в различных областях математической физики, включая теорию возмущений в квантовой электродинамике и статистическую механику. Дзета-функция в целом имеет фундаментальное значение для теории простых чисел и криптографии, где её свойства влияют на распределение простых чисел в натуральном ряду. Константа Апери также появляется в комбинаторике и теории расходящихся рядов, что делает её математически плодородной точкой исследования.