Нулевой факториал (0!) равен 1, хотя это кажется парадоксальным.

Нулевой факториал (0!) равен 1 — это определение, которое на первый взгляд кажется парадоксальным, но на самом деле логически необходимо. По стандартному определению факториала n! = n × (n−1) × (n−2) × ... × 1, но когда n = 0, эта цепочка умножений становится пустой. Здесь в игру вступает концепция пустого произведения — математическое соглашение, согласно которому произведение нулевого количества чисел равно 1 (аналогично тому, как пустая сумма равна нулю). Это определение было формализовано в XVIII веке в рамках развития комбинаторики и теории перестановок, когда математики обнаружили, что для согласованности формул биномиальных коэффициентов и перестановок необходимо принять именно такое значение. Практическое значение 0! = 1 невозможно переоценить. Наиболее яркий пример — формула числа сочетаний C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Если k = 0, она должна давать 1 (существует ровно один способ выбрать ноль элементов из множества — не выбрать ничего). При k = n получаем C(n, n) = n! / (n! × 0!), что равно 1 только если 0! = 1. Без этого определения комбинаторные формулы ломались бы на граничных случаях. Интерпретация через перестановки и принцип пустого произведения подчёркивает фундаментальный принцип: существует ровно один способ расставить ноль предметов — оставить их в пусто́м порядке. Это не произвольное соглашение, а неизбежное следствие логики комбинаторного подсчёта.