Парадокс Берри: если назвать наименьшее число, которое нельзя назвать менее чем в двадцать словах, возникает логическое противоречие.

Парадокс Берри — классический метаматематический парадокс, впервые описанный английским библиотекарем и математиком Джорджем Берри в 1904 году. Парадокс возникает, когда мы пытаемся определить «наименьшее натуральное число, которое нельзя описать менее чем двадцатью словами». На первый взгляд такое число должно существовать — ведь слов конечное количество, и фраз из менее чем двадцати слов тоже конечное число. Однако если мы нашли это число, то мы только что описали его фразой «наименьшее натуральное число, которое нельзя описать менее чем двадцатью словами» — всего в одиннадцать слов. Это противоречие: число одновременно нельзя и можно описать за двадцать слов. Значимость парадокса Берри заключается в том, что он демонстрирует фундаментальное различие между естественным языком и формальной математической логикой. Естественный язык содержит ссылки сам на себя и неоднозначности, которые приводят к логическим ловушкам. Этот парадокс повлиял на развитие математической логики и теории вычислимости, включая работы Алана Тьюринга над проблемой остановки. Парадокс показал, почему математики должны работать исключительно в рамках формальных систем с чётко определёнными аксиомами и правилами вывода, избегая ссылок на естественный язык. Парадокс Берри тесно связан с другими знаменитыми логическими парадоксами. Наиболее известный из них — парадокс Рассела о множестве всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента.