Постоянная Апери ζ(3)≈1.202... — иррациональна, но неизвестна ли её трансцендентность.

Постоянная Апери ζ(3) ≈ 1.202056903... — одна из самых загадочных констант в математике. Французский математик Роже Апери доказал её иррациональность в 1978 году, что стало неожиданным триумфом теории чисел. До этого момента никто не мог строго установить, рациональна ли эта величина, хотя численные расчёты намекали на её необычность. Доказательство Апери, представленное на конференции в Марселе, поразило научное сообщество — ведь похожие суммы для других степеней оставались непокорённым барьером долгие десятилетия. Число ζ(3) возникает как значение дзета-функции Римана в точке 3: это сумма бесконечного ряда 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + ... Дзета-функция играет центральную роль в аналитической теории чисел, в частности в изучении распределения простых чисел. Вопрос об иррациональности ζ(3) связан с более широкой проблемой: известно, что ζ(2) = π²/6 — трансцендентное число, но для нечётных аргументов (кроме ζ(1)) почти всё остаётся неизвестным. Самая большая загадка — остаётся открытым, является ли ζ(3) трансцендентным числом, то есть не корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Если бы удалось это доказать, это было бы огромным прорывом, но математики пока не нашли метода. Аналогично неизвестна трансцендентность ζ(5), ζ(7) и других нечётных дзета-значений, хотя предполагается, что все они трансцендентны.