Интеграл от e в степени x равен самому себе: ∫e^x dx = e^x + C, что уникально для этой функции.

Число Эйлера e ≈ 2,71828 получило своё определение именно через уникальное свойство показательной функции: её производная и интеграл совпадают с самой функцией. Это означает, что ∫e^x dx = e^x + C — единственная элементарная функция с такой особенностью. Изучение этого свойства интенсивно велось в XVII–XVIII веках математиками разных стран; число e естественным образом появилось в работах по сложным процентам и логарифмам, хотя строгое определение через предел (1 + 1/n)^n при n → ∞ сформировалось позже. Почему это важно? Потому что функция e^x описывает все процессы, где скорость изменения пропорциональна текущему значению. Радиоактивный распад подчиняется закону N(t) = N₀e^(−λt), где λ — константа распада; за время, называемое периодом полураспада, количество вещества уменьшается ровно вдвое. Рост популяций в отсутствие ограничений тоже идёт по закону e^x. Это касается размножения бактерий, распространения эпидемий, накопления капитала в банке при непрерывном начислении процентов. Далеко не очевидно, что производная функции равна самой функции — это редкое явление в анализе. Для сравнения: производная синуса даёт косинус, производная логарифма даёт гиперболу 1/x. Только e^x замыкается на себя. Эта самоподобность позволяет решать дифференциальные уравнения вида dy/dt = ky с помощью простого умножения: решение имеет вид y = Ae^(kt) для любой константы A и любого коэффициента k.