Парадокс Банаха-Тарского позволяет разделить шар на конечные куски и составить два идентичных шара.

Парадокс Банаха-Тарского — один из самых контринтуитивных результатов в математике XX века. Польский математик Стефан Банах и его коллега Альфред Тарский доказали это утверждение в 1924 году, опираясь на работы о парадоксальных разбиениях множеств. Согласно их теореме, сплошной шар в трёхмерном евклидовом пространстве можно разложить на конечное число (минимум пять) непересекающихся подмножеств и переставить их так, чтобы получилось два шара, идентичных по размеру и форме исходному. Это возможно благодаря существованию неизмеримых множеств — математических объектов, которым невозможно приписать объём традиционным способом. Парадокс напрямую связан с аксиомой выбора в теории множеств. Без этой аксиомы построение такого разбиения невозможно. Именно это обстоятельство подчёркивает фундаментальное значение аксиомы выбора для логических оснований математики. Результат шокировал научное сообщество, поскольку казалось, что он нарушает принцип сохранения объёма. Однако парадокс не противоречит физике: подмножества в разбиении настолько сложно устроены (фрактальны по природе), что их невозможно физически отделить от целого. Важно отметить, что парадокс справедлив только для трёхмерного пространства и выше. В двумерности и на прямой подобные явления невозможны — это связано с наличием инвариантной меры Хаара на группе движений. Открытие Банаха и Тарского стало толчком для развития теории парадоксальных разбиений и показало границы интуитивного понимания геометрии.