Существует число, которое больше чисел атомов во Вселенной, но меньше TREE(3).

Число TREE(3) возникает из теории Крускала — раздела математики, который изучает упорядочение структур. Это число настолько велико, что даже число Грэма, долгое время считавшееся одним из самых больших когда-либо использованных в доказательстве, рядом с ним выглядит микроскопическим. Для сравнения: число атомов во Вселенной оценивается примерно в 10 в 80-й степени, а число Грэма — это уже невообразимо большое число, требующее для записи собственной системы обозначений. TREE(3) же превосходит число Грэма так же, как тот превосходит количество атомов Земли. Теория Крускала, разработанная американским математиком в контексте исследования алгоритмов и структур данных, доказывает, что любая последовательность конечных деревьев с ограниченным числом типов вершин должна содержать два дерева, одно из которых может быть вложено в другое. Функция TREE(n) показывает максимальную длину такой последовательности при n типах вершин. Для TREE(3) это означает деревья всего с тремя видами вершин, но длина последовательности выходит настолько за пределы обычной интуиции, что для её описания требуется степенная башня выше самого числа Грэма. Хотя TREE(3) возникает в чистой комбинаторике, она имеет глубокие связи с теорией доказательств и аксиоматикой математики. Некоторые утверждения о TREE(3) невозможно доказать, используя стандартную аксиоматику Пеано, что делает это число актуальным для философии оснований математики.