Гипотеза Коллатца проверена для чисел до 295×10¹⁹, но доказательства так и нет.

Гипотеза Коллатца — одна из самых простых, но упорных нерешённых задач современной математики. Её суть минималистична: возьми любое натуральное число; если оно чётное, раздели его на 2, если нечётное — умножь на 3 и прибавь 1. Повторяй операцию снова и снова. Гипотеза утверждает, что при любом стартовом числе последовательность рано или поздно достигнет единицы. После этого цикл замыкается: 1 → 4 → 2 → 1. Исторически гипотеза известна под именем немецкого математика Лотара Коллатца, который изучал её в 1930-х годах, хотя независимо похожие вопросы возникали и раньше в различных математических кругах. Несмотря на простоту формулировки, проблема оказалась настолько трудной, что даже легендарный математик Пол Эрдёш заявил: «Математика ещё не готова к таким проблемам». Особая притягательность гипотезы Коллатца состоит в контрасте между её элементарностью и недостижимостью доказательства. К 2020-м годам суперкомпьютеры проверили гипотезу для всех натуральных чисел вплоть до 2⁶⁸ (примерно 2,95 × 10²⁰), что составляет триллионы триллионов примеров. Ни единого контрпримера не найдено. Однако вычислительная проверка не равна математическому доказательству — последнее требует логического объяснения, почему это верно для всех чисел сразу. Эта задача привлекает внимание не только профессиональных математиков, но и программистов, интересующихся алгоритмами и вычислительной сложностью. Попытки решить гипотезу привели к развитию новых методов в теории чисел и динамических системах.