Существует число, которое равно сумме факториалов своих цифр: 145 = 1! + 4! + 5!

Числа, равные сумме факториалов своих цифр, называются факторионами. Классический пример — 145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120. Это свойство выглядит как математическое совпадение, но оказывается частью строгой теории. В десятичной системе счисления известны ровно четыре факториона: 1, 2, 145 и 40585. Число 40585 можно разложить как 4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 24 + 1 + 120 + 40320 + 120. Это самое большое факториону в базе-10, и это не случайно — оно было установлено методом исчерпывающего компьютерного поиска в 1970-х годах. Исследователи доказали, что больше не существует никаких факторионов среди целых положительных чисел, проверив все возможные комбинации. Почему такие числа редки? Факториалы растут чрезвычайно быстро. Сумма факториалов цифр числа растёт медленнее, чем само число, когда оно становится достаточно большим. Уже для пятизначных чисел сумма факториалов цифр не может превысить 5×9! = 1 814 400, в то время как наименьшее пятизначное число равно 10000. Это создаёт естественную границу поиска. Факторионы относятся к классу автоморфных чисел — объектов, обладающих внутренней числовой симметрией. Хотя практического применения они не имеют, факторионы важны для развития теории чисел и алгоритмического мышления. Их поиск стал одной из первых задач, решённых методом полного перебора на компьютерах, демонстрируя мощь вычислительных машин в математике.