Есть функция, непрерывная везде, но нигде не дифференцируемая — функция Вейерштрасса.

На протяжении XVIII и большей части XIX века математики полагали, что непрерывная функция почти везде должна быть гладкой — то есть иметь производную. Это казалось интуитивно очевидным: если график функции не рвётся, он не должен быть слишком «колючим». Карл Вейерштрасс разрушил эту уверенность в 1872 году, построив явный контрпример — функцию, которая непрерывна всюду, но не дифференцируема ни в одной точке. Функция Вейерштрасса определяется как бесконечный ряд косинусов: каждый следующий член делает график всё более изломанным на мелких масштабах. При определённых условиях на коэффициенты (произведение параметров амплитуды и частоты должно быть достаточно велико) эта конструкция создаёт объект, который выглядит гладким издалека, но при любом увеличении остаётся столь же шероховатым и непредсказуемым. Это было настоящим потрясением для сообщества математиков: интуиция подвела. Открытие имело глубокие следствия для анализа. Оно показало, что множество непрерывных функций намного больше и сложнее, чем казалось. Это подтолкнуло развитие функционального анализа и теории функций вещественной переменной. Позднее были найдены другие примеры: функции, непрерывные везде, но дифференцируемые лишь на множестве нулевой меры. Функция Вейерштрасса стала парадигматическим примером в топологии и анализе — она демонстрирует, что математические объекты могут быть куда более патологичными, чем подсказывает геометрическая интуиция.