Множество всех подмножеств натуральных чисел имеет мощность строго больше, чем само множество натуральных чисел.

Множество всех подмножеств натуральных чисел имеет мощность строго больше, чем само множество натуральных чисел. Это утверждение, известное как теорема Кантора, было доказано в 1891 году немецким математиком Георгом Кантором с помощью метода диагонализации — остроумного логического приёма, который впоследствии стал классическим инструментом доказательства в теории множеств. Смысл открытия в следующем: мощность множества натуральных чисел обозначается символом ℵ₀ (алеф-ноль) и считается счётной бесконечностью. Однако булеан этого множества — совокупность всех возможных подмножеств натуральных чисел — имеет мощность 2^ℵ₀, которая несравненно больше. Метод диагонализации Кантора позволяет строго доказать, что никакая функция не может установить взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и их всеми подмножествами, что и гарантирует строгое неравенство мощностей. Это открытие было революционным для математики, поскольку впервые показало, что существует иерархия бесконечностей разных размеров — не все бесконечности одинаковы. Теорема демонстрирует, что даже добавление всего одного уровня «вложенности» (переход от множества к множеству его подмножеств) приводит к качественно более высокой степени бесконечности. Это привело к развитию теории кардинальных чисел и пересмотру понимания самых основ математики. Важность этого результата выходит далеко за пределы чистой математики.