Фракталы имеют дробную размерность: снежинка Коха имеет размерность log(4)/log(3) ≈ 1.26.

Обычные геометрические объекты подчиняются привычным представлениям о размерности: линия имеет размерность 1, плоский квадрат — 2, куб — 3. Но снежинка Коха, описанная шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году, нарушает эту логику. Эта кривая строится по простому правилу: каждый отрезок линии делится на три части, средняя заменяется на два отрезка под углом 60 градусов. Повторяя эту операцию бесконечное число раз, получаем линию с дробной размерностью log(4)/log(3) ≈ 1.26 — число между 1 и 2, отражающее необычное свойство фрактала занимать больше пространства, чем обычная линия, но оставаясь при этом не совсем плоской фигурой. Парадокс снежинки Коха заключается в том, что при конечной площади её периметр бесконечен. Это означает, что если вы бесконечно приближаете границу фигуры под микроскопом, она не становится гладче — на любом масштабе вы видите одинаковую зубчатую структуру. Это явление называется самоподобием: часть фрактала похожа на целое. Подобная организация встречается в природе повсеместно — в ветвлении кровеносных сосудов, рисунке капусты романеско, структуре облаков и береговых линий. Геометрия фракталов помогает понять, почему естественные объекты часто имеют такую сложную, изломанную форму. Теория фракталов, развитая Бенуа Мандельбротом в 1970-х годах, нашла применение в компьютерной графике для синтеза реалистичных ландшафтов, в медицине для анализа структуры лёгких и опухолей, в физике материалов и даже в экономике для моделирования колебаний цен.