Константа Апери ζ(3) ≈ 1.202... — сумма 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ +... остаётся неразгаданной по иррациональности.

Константа Апери ζ(3) ≈ 1,202056903... — это сумма бесконечного ряда 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + ..., частный случай дзета-функции Римана при аргументе 3. Французский математик Роже Апери доказал её иррациональность в 1978 году, используя цепные дроби и неожиданно элементарные методы, которые долгие годы казались неперспективными. Это открытие потрясло математическое сообщество: доказательство было кратким и элегантным, но его основная идея осталась загадкой даже для специалистов. До сих пор неизвестно, является ли ζ(3) алгебраическим числом (корнем полиномиального уравнения с целыми коэффициентами) или трансцендентным — как, например, π и e. Значение константы Апери возникает в квантовой электродинамике при расчётах поправок к процессам рассеяния электронов и фотонов, а также в теории узлов и статистической физике. Современные суперкомпьютеры вычислили это число с точностью до триллионов знаков, однако мы так и не разгадали его арифметическую природу — парадокс, который символизирует границу наших знаний в аналитической теории чисел. Интригующий контраст: для ζ(2) = π²/6 формула явная и красивая, а для ζ(3) ничего подобного не найдено. Многи другие значения дзета-функции при нечётных аргументах ζ(5), ζ(7) и выше остаются столь же загадочными. Общее предположение гласит, что все они алгебраически независимы и трансцендентны, но это до сих пор недоказано.