Парадокс Банаха-Тарского: шар можно разделить на 5 кусков и собрать из них два идентичных шара того же размера.

Парадокс Банаха-Тарского был доказан польским математиком Альфредом Банахом и австрийским математиком Альфредом Тарским в 1924 году. Этот результат показывает, что в трёхмерном пространстве можно разделить сплошной шар на конечное число кусков (минимально пять) и переложить их так, чтобы получились два идентичных шара того же размера, что и исходный. Построение работает исключительно благодаря аксиоме выбора — одному из фундаментальных постулатов теории множеств. Ключ к парадоксу состоит в том, что разбиение осуществляется на неизмеримые по Лебегу куски, которые нельзя физически построить или измерить традиционными методами. Части обладают странными самоподобными свойствами, связанными с действиями групп вращений в пространстве. Это означает, что геометрическая декомпозиция работает только в абстрактной математике и полностью опровергает обыденную интуицию о сохранении объёма материи. Значение этого открытия выходит далеко за рамки любопытного парадокса. Парадокс Банаха-Тарского стал краеугольным камнем в развитии современной теории измерения и теории множеств, показав границы аксиомы выбора и указав на необходимость тщательного определения понятия «измеримого множества». Результат продемонстрировал, что наша интуиция часто подводит нас в многомерных пространствах, и научил математиков быть осторожнее с бесконечными процессами.